elimde yukarıdaki gibi 5. veya 6. dereceden bir denklem var diyelim. x [-1,1] aralığındayken bu fonksiyonun her zaman pozitif olduğunu ispatlamaya çalışıyorum. bunu nasıl yapabilirim?
not: bu fonksiyonun x o aralıktayken her zaman pozitif olduğunu biliyorum, bunu fonksiyonun grafiğini çizerek görebiliyorum zaten. 3. dereceden vs. olduğunda (1-x)(y)+z formunda yazıp görebiliyordum. elimdeki fonksiyon 5. veya 6. dereceden olduğunda nasıl yapabilirim bunu?
aslında yapmak istediğim şu, iki veya üç denklemin çarpımı + bir denklemin veya sayının toplamı şeklinde yazayım. ama bu denklemler x [-1,1] aralığında işaret değiştirmesin ki sonucun pozitif olduğunu direkt görebileyim, bu denklemleri nasıl seçebilirim?
Her denklemi istediğin şekilde yazmak mümkün olmayabilir. Bu denklem için artan ve azalanlık fikir verebilir. Burada denklemin -1 deki değeri 75 ve 1 deki değeri de 9 olup uç noktalarda pozitif. Denklemin türevini alırsak -25x^4+36x^3+90x^2-94x-48 elde edilir. Bununda [-1,1] aralığında her zaman negatif ya da pozitif olduğunu söyleyemeyiz. O halde nerede pozitif nerede negatif olduğunu belirlemek için köklerini bulmak gerek(bunun için bildiğim kadarıyla bir yöntem yok). Burada aralığın uç noktalarında türev denklemi ters işaretli olduğundan aradeğer teoreminden en az bir kökü vardır diyebiliriz(ki gerçekten de bu aralıkta bir kökü var). Dolayısıyla türevin işaret tablosundan türev denklemi köke kadar artan kökten sonra azalan olduğu ortaya çıkar. Denklemin grafiği aralığın sağ uç noktasına kadar azaldığından ve bu değer de pozitif olduğundan denklem her zaman pozitif olmuş olur.
öncelikle yapacağım ispat çok temel kalacak, onu belirteyim ama özellikle lise çağındaki birinin anlayabileceği seviyede olacak.
denklemi x^4, x^2 ve x^0 (1) parantezlerine alacak şekilde bölelim önce.
[x^4(9-5x)]-[x^2(47-30x)]+[x^0(70-48x)]
x^4, x^2 ve x^0 ifadelerinin her biri belirtilen aralıkta pozitiftir. elimizdeki ilk terim olan [x^4(9-5x)] ifadesindeki 5x belirtilen aralıktaki her değerde 9'dan küçük olduğu için [x^4(9-5x)] terimi her zaman 0'dan büyüktür.
geriye kalan -[x^2(47-30x)]+[x^0(70-48x)] bölümünün pozitif olduğunu ispat etmemiz için ise belirtilen aralıkta (70-48x) ifadesinin her zaman 47-30x'ten büyük olduğu ispat etmemiz yeterli. zira x, [-1, 1] aralığındayken 47-30x'in katsayısı olan x^2 en fazla 1 olabilmektedir. burada ayrıca, (70-48x) ifadesi de belirtilen aralıkta her zaman pozitiftir.
70-48x > 47-30x
70-47 > 48x-30x
33 > 18x
son eşitsizlik, x'in [-1, 1] aralığındaki tüm değerlerini sağladığı için 70-48x her zaman 47-30x ifadesinden büyük olmakta, dolayısıyla -[x^2(47-30x)]+[x^0(70-48x)] bölümü de belirtilen aralıkta her zaman pozitif olmaktadır.
