Cantor'un sonsuz kümeler teorisini gördüğümde oldukça şaşırdım açıkçası.
Örneğin tam sayılar kümesi de; çift sayılar kümesi de sonsuz ama eleman sayıları farklı. Yani iki küme birbirine eşit değil ama ikisi de sonsuz. Bu bir paradoks değil mi?
edit: Dahası; bir sonsuz küme, başka bir sonsuz kümenin alt kümesi oluyor.
Değil hocam. Matematikteki sonsuz kavramı daha farklıdır. Kendi içinde sayılabilir ve sayılamaz diye ayrılır. Bu konular kümeler kuramı(set theory) altında geçer. Birebir ve örtenlik üzerinden ispatlanan şeyler.
İlk verdiğiniz örnekte eleman sayıları demişsiniz ama eleman sayısı sonsuz kümeler için tercih edilen bir kavram değil, cardinality(türkçesi de benzer bir şey olmalı) kavramı kullanılıyor.
Bir küme ile doğal sayılar kümesi(N) arasında bijective bir fonksiyon oluşturulabiliyorsa bu iki kümenin cardinality'leri eşit oluyor(tam yazamadım ama buna benzer bir teorem). Bundan dolayı da küme sayılabilir sonsuz oluyor.
Edit kısmında söylediğiniz şey cantor'un teoremi oluyor işte. Yine birebir ve örtenlikten bir ispat yapılıyor ve ispatın sonunda bir kümenin(A) alt kümelerinin kümesinin(P(A)) cardinality'si A'nın cardinality'sinden küçük bulunuyor. A kümesini sonsuz olarak değerlendirdiğimizde de bu sonuca ulaşıyoruz. Bu durumda cardinality'si sonsuz bir küme olan A'nın cardinality'sinden büyük bir küme varmış.
En başta dediğim gibi bunlar set theory konuları. Birebir ve örtenliğe bakarsanız anlamanız kolay olur. Yanlış hatırladığım şeyler olabilir kusura bakmayın.
