[]
olasilik sorusu
diyelim elimde n tane numarali kutu, m tane de top var (n>m). toplari kutulara her kutuda 1'den fazla olmayacak sekilde random dagitiyorum (dolayisiyla herhangi bir kutu sectigimde bir top bulma ihtimalim m/n). peki herhangi iki kutu sectigimde en az bir top bulma ihtimalim 2m/n midir? degilse nedir?
[matematiği 6 sene önce bıraktım, öss matematiğiyle girişiyorum]
bölüm-1:
3 top, 5 kutu olsa, 3 kutuya birer top, 2 adet kutu boş.
burada topsuz kutuyu seçme ihtimali 2/5.
bölüm-2:
burada 2 kutuda en az 1 top arıyoruz. ilk seçişimizde top bulma ihtimalimiz 3/5.
eğer topu bulursak ikincisinde 2/4, sonucunda 3/5 x 2/4 = 3/10
eğer ilkinde topu bulamazsak ikincisinde 3/4 olacaktır. sonucunda 3/5 x 3/4 = 9/20
yazarken yazarken sıçtığımı farkettim. bırakıyorum.
bölüm-1:
3 top, 5 kutu olsa, 3 kutuya birer top, 2 adet kutu boş.
burada topsuz kutuyu seçme ihtimali 2/5.
bölüm-2:
burada 2 kutuda en az 1 top arıyoruz. ilk seçişimizde top bulma ihtimalimiz 3/5.
eğer topu bulursak ikincisinde 2/4, sonucunda 3/5 x 2/4 = 3/10
eğer ilkinde topu bulamazsak ikincisinde 3/4 olacaktır. sonucunda 3/5 x 3/4 = 9/20
yazarken yazarken sıçtığımı farkettim. bırakıyorum.
- gonion
(10.08.09 01:55:02)
bir kutu seçtiğimde top bulma ihtimalim m/n ise iki kutu seçtiğimde hiç top bulmama ihtimalim şudur:
bir kutuda 1-m/n kadar top bulmama ihtimalim var. ikinciye geldiğinde bu olasılık 1-(m/(n-1)) e düşer. ikisinde de top bulmama ihtimalim ikisinin çarpımıdır ki o da şudur:
((n-m)^2-n+m)/n^2-n
bu sayıyı 1den çıkardığımızda en az 1 top bulma ihtimalimizi buluruz.
sayılardan gidelim: 3 top 5 kutumuz var. 2 kutu boş. birinci kutuya baktığımızda top bulmama olasılığımız 2/5, ikinci kutuya baktığımızda ise bu ihtimal 1/4 olacaktır.
ikisini çarpalım: 2/5 x 1/4= 2/20 çıkıyor. yani en az 1 top bulma ihtimalimiz 18/20dir. m ve n'lerle işe girişince karmaşıklaşıyor, o yüzden direk sayı üzerinden gitmek daha mantıklı olur.
m ve n'lerle verdiğim formülde de aynı sonucun çıktığını göreceksiniz.(bende bi ışık varmış lan)
bir kutuda 1-m/n kadar top bulmama ihtimalim var. ikinciye geldiğinde bu olasılık 1-(m/(n-1)) e düşer. ikisinde de top bulmama ihtimalim ikisinin çarpımıdır ki o da şudur:
((n-m)^2-n+m)/n^2-n
bu sayıyı 1den çıkardığımızda en az 1 top bulma ihtimalimizi buluruz.
sayılardan gidelim: 3 top 5 kutumuz var. 2 kutu boş. birinci kutuya baktığımızda top bulmama olasılığımız 2/5, ikinci kutuya baktığımızda ise bu ihtimal 1/4 olacaktır.
ikisini çarpalım: 2/5 x 1/4= 2/20 çıkıyor. yani en az 1 top bulma ihtimalimiz 18/20dir. m ve n'lerle işe girişince karmaşıklaşıyor, o yüzden direk sayı üzerinden gitmek daha mantıklı olur.
m ve n'lerle verdiğim formülde de aynı sonucun çıktığını göreceksiniz.(bende bi ışık varmış lan)
- cro magnon (10.08.09 02:13:41 ~ 02:18:37)
biraz daha açayım hatta.
şimdi m kadar kutunun içinde top var çünkü top sayısı m. (n-m) kadar kutuda da top yok.(n>m demiştik başta)
eğer 2 kutuda da top olmaması ihtimalini hesaplarsak ve bunu 1'den çıkarırsak kutuların birinde ve ikisinde birden top olma ihtimallerinin toplamını buluruz. çünkü üç ihtimal var: ya iki kutuda da top olacak, ya birinde olacak birinde olmayacak, ya da ikisinde de olmayacak. bu üç ihtimalin toplamı 1'e(%100)e eşit. eğer ikisinde de olmama ihtimalini bulursak diğerlerinin toplamını da bulmuş oluruz. zaten soru da bu.
2 kutuda da top olmama ihtimalini hesaplayalım. ilk kutuda top olmama ihtimali topsuz kutu sayısı/toplam kutu sayısına eşittir. yani (n-m)/n.
bu kutuya baktık. şimdi ikinci kutuya bakıcaz. ilk kutu boş çıktığı için boş kutu sayısı 1 azaldı ve (n-m-1)'e düştü. kutu sayısı da 1 azaldı ve (n-1)e düştü. çünkü baktığımız ve boş çıkan kutuyu bir kenara ayırdık artık. ikinci kutuda boş çıkma ihtimali ise şu: (n-m-1)/(n-1)
eğer bu ikisini çarparsak çektiğimiz iki kutuda birden boş çıkma olasılığını hesaplamış oluruz. üstte çarpılmışı var: ((n-m)^2-n+m)/(n^2-n)
başta da dediğim gibi bu çıkan sonucu 1'den çıkarırsak istediğimiz cevaba ulaşırız. onu da formulize etmek gerekirse:
1-((n-m)^2-n+m)/(n^2-n) olur. bu belki sadeleşebilir bir deneyin.
bu formül bu soru tipinde bütün sayılar için geçerli olur.(ne coştum gece gece. yürü be! kim tutar seni)
şimdi m kadar kutunun içinde top var çünkü top sayısı m. (n-m) kadar kutuda da top yok.(n>m demiştik başta)
eğer 2 kutuda da top olmaması ihtimalini hesaplarsak ve bunu 1'den çıkarırsak kutuların birinde ve ikisinde birden top olma ihtimallerinin toplamını buluruz. çünkü üç ihtimal var: ya iki kutuda da top olacak, ya birinde olacak birinde olmayacak, ya da ikisinde de olmayacak. bu üç ihtimalin toplamı 1'e(%100)e eşit. eğer ikisinde de olmama ihtimalini bulursak diğerlerinin toplamını da bulmuş oluruz. zaten soru da bu.
2 kutuda da top olmama ihtimalini hesaplayalım. ilk kutuda top olmama ihtimali topsuz kutu sayısı/toplam kutu sayısına eşittir. yani (n-m)/n.
bu kutuya baktık. şimdi ikinci kutuya bakıcaz. ilk kutu boş çıktığı için boş kutu sayısı 1 azaldı ve (n-m-1)'e düştü. kutu sayısı da 1 azaldı ve (n-1)e düştü. çünkü baktığımız ve boş çıkan kutuyu bir kenara ayırdık artık. ikinci kutuda boş çıkma ihtimali ise şu: (n-m-1)/(n-1)
eğer bu ikisini çarparsak çektiğimiz iki kutuda birden boş çıkma olasılığını hesaplamış oluruz. üstte çarpılmışı var: ((n-m)^2-n+m)/(n^2-n)
başta da dediğim gibi bu çıkan sonucu 1'den çıkarırsak istediğimiz cevaba ulaşırız. onu da formulize etmek gerekirse:
1-((n-m)^2-n+m)/(n^2-n) olur. bu belki sadeleşebilir bir deneyin.
bu formül bu soru tipinde bütün sayılar için geçerli olur.(ne coştum gece gece. yürü be! kim tutar seni)
- cro magnon (10.08.09 02:31:14 ~ 02:58:09)
coştukça coşuyor efenim durduramıyoruz.
bir de şöyle yapalım. ikisinde birden top bulunma ihtimaliyle sadece birinde top bulunma ihtimalini toplayalım:
ikisinde birden top bulunma ihtimali: (m/n).((m-1)/(n-1))
ilkinde top var ikincide yok: (m/n).((n-m)/(n-1))
ilkinde top yok ikincide var: (n-m/n).(m/(n-1))
bu üçünü toplayınca da sonuca ulaşıyoruz. toplamaya üşendim şimdi(o kadar da coşmadım). verdiğiniz sayılarla çözünce üç ihtimal de 6/20 çıkıyor.
ben nasa'da gidecektim aslında da yükseklik korkum var. napalım.
bir de şöyle yapalım. ikisinde birden top bulunma ihtimaliyle sadece birinde top bulunma ihtimalini toplayalım:
ikisinde birden top bulunma ihtimali: (m/n).((m-1)/(n-1))
ilkinde top var ikincide yok: (m/n).((n-m)/(n-1))
ilkinde top yok ikincide var: (n-m/n).(m/(n-1))
bu üçünü toplayınca da sonuca ulaşıyoruz. toplamaya üşendim şimdi(o kadar da coşmadım). verdiğiniz sayılarla çözünce üç ihtimal de 6/20 çıkıyor.
ben nasa'da gidecektim aslında da yükseklik korkum var. napalım.
- cro magnon (10.08.09 02:54:25 ~ 03:00:23)
gonion, ugrastigin icin tesekkur ederim :)
cro magnon, kutulari ayni anda sectigimi soylemeyi unutmusum ama cok da fark etmiyor, senin cozumunde sadece (n-1)'leri n'le degistirmek gerekiyor. cok tesekkurler!
cro magnon, kutulari ayni anda sectigimi soylemeyi unutmusum ama cok da fark etmiyor, senin cozumunde sadece (n-1)'leri n'le degistirmek gerekiyor. cok tesekkurler!
- layouter (10.08.09 03:08:59)
kutuları aynı anda seçmezsek iş aşırı kolaylaşıyor.
birinde boş çıkma ihtimali (n-m)/n ya
ikisinde de boş çıkma ihtimali ((n-m)/n)^2 yani kendisiyle çarpıyoruz.
ve 1'den çıkarıyoruz. yani verdiğiniz örnekte cevap 21/25 oluyor.
birinde boş çıkma ihtimali (n-m)/n ya
ikisinde de boş çıkma ihtimali ((n-m)/n)^2 yani kendisiyle çarpıyoruz.
ve 1'den çıkarıyoruz. yani verdiğiniz örnekte cevap 21/25 oluyor.
- cro magnon (10.08.09 03:18:41 ~ 03:19:47)
1
