[]
Diferansiyel Denklemler
merhabalar. şimdi bu derse nasıl çalışmak lazımdır? okula gidip geliyorum öyle mal gibi, hiçbir şey de anlamıyorum açıkçası. millet kolay falan diyor, anladık diyor iyice mal hissediyorum kendimi. daha kitap açıp bakmışlığım yok gerçi, bugün başlamaya karar verdim. buraya da bir sorayım dedim.
nelere çalışmak lazım? az çok gördüğüm kadarıyla, denkleme göre çözüm teknikleri var sanırım ve hangisini uygulayacağımızı bulup uygulamamız gerekiyor. homogeneous eq., initial value, bernoulli eq., vs. kafam çorba gibi. en son da bernoulli'ye geldik derste zaten.
yalnız en gıcık olduğum şey de bir konuyu ezberlemek ve sonra unutmaktır. örnek olarak, türevin anlamını öğrenmemiş olsaydım, şimdi nerede kullanmam gerektiğini ve kullandığımda neyi bulduğumu bilemeyecktim. sadece "üs başa atılır sonra da üssün bi eksiği üs olarak yazılır" gibi saçma bi bilgiden ibaret olacaktı kafamdaki.
özet olarak, bana şu konunun mantığını açıklasanız, bir de nasıl çalışmam gerektiğini söyleseniz ne süper olur.
çok teşekkürler şimdiden.
nelere çalışmak lazım? az çok gördüğüm kadarıyla, denkleme göre çözüm teknikleri var sanırım ve hangisini uygulayacağımızı bulup uygulamamız gerekiyor. homogeneous eq., initial value, bernoulli eq., vs. kafam çorba gibi. en son da bernoulli'ye geldik derste zaten.
yalnız en gıcık olduğum şey de bir konuyu ezberlemek ve sonra unutmaktır. örnek olarak, türevin anlamını öğrenmemiş olsaydım, şimdi nerede kullanmam gerektiğini ve kullandığımda neyi bulduğumu bilemeyecktim. sadece "üs başa atılır sonra da üssün bi eksiği üs olarak yazılır" gibi saçma bi bilgiden ibaret olacaktı kafamdaki.
özet olarak, bana şu konunun mantığını açıklasanız, bir de nasıl çalışmam gerektiğini söyleseniz ne süper olur.
çok teşekkürler şimdiden.
Diferansiyel denklemleri samim dündar gibi bir hocadan aldım, sanırım 3. seferde geçtim. Ne yazık ki dif. denk çözmeyi unuttum açıp bakmam gerekir ders notlarıma ama bir sürü yolu var.
Misal ilk başlarda çözmek için kastırdığın bir sorunun aslında kolay bir yolu olduğunu görebiliyorsun.
Ne yazık ki seninle aynı durumdaydım yani soruya bakınca ne olduğunu göremiyordum, yanlış yola bir girdim bi 2 sayfa çözüm yaparsın ama sonuca ulaşamazsın.
Bizde geçme notu 60 tı, vizesinden 18 almıştım. Finalinde 95 alıp rekor kırmıştım. Nasıl oldu dersen bütün yöntemlerin algoritmasını biliyordum, hangi soruya hangi şartlarda uygulanır öğrendim. Bir sürü örnek soru çözdüm.
Şimdi karşıma basit bir diferansiyel denklem koysan defter kitap kurcalamadan çözemem.
Son bir şey daha, kafa karıştıran şey şu : ilk konularda çözmek için sayfalarca çözüm yapıyorsun. ilerleyen konularda aynı soruyu daha kolay çözebileceğini görebiliyorsun. Ondan sonra burada niye bunu kullanmadık, şurada niye bunu kullanmıyoruz diye kafayı yiyorsun.
Dediğim gibi bol bol soru çözersen sıkıntı kalmaz.
Misal ilk başlarda çözmek için kastırdığın bir sorunun aslında kolay bir yolu olduğunu görebiliyorsun.
Ne yazık ki seninle aynı durumdaydım yani soruya bakınca ne olduğunu göremiyordum, yanlış yola bir girdim bi 2 sayfa çözüm yaparsın ama sonuca ulaşamazsın.
Bizde geçme notu 60 tı, vizesinden 18 almıştım. Finalinde 95 alıp rekor kırmıştım. Nasıl oldu dersen bütün yöntemlerin algoritmasını biliyordum, hangi soruya hangi şartlarda uygulanır öğrendim. Bir sürü örnek soru çözdüm.
Şimdi karşıma basit bir diferansiyel denklem koysan defter kitap kurcalamadan çözemem.
Son bir şey daha, kafa karıştıran şey şu : ilk konularda çözmek için sayfalarca çözüm yapıyorsun. ilerleyen konularda aynı soruyu daha kolay çözebileceğini görebiliyorsun. Ondan sonra burada niye bunu kullanmadık, şurada niye bunu kullanmıyoruz diye kafayı yiyorsun.
Dediğim gibi bol bol soru çözersen sıkıntı kalmaz.
- kimlanbu
(23.10.10 18:54:11)
Evet, dediğiniz gibi, denkleme göre çözüm tekniği var. Önereceğiniz fonksiyon türünü denkleme bakarak belirliyorsunuz. Örneğin,
y(x)''+(k^2)*y(x)=0
denklemine bakalım. Burada '' x'e göre ikinci türevi göstersin. Bilen biri (şu andan itibaren siz dahil) bunun bir harmonik salınım verdiğini bilir. Tavanda asılı bir yayın ucuna bir şey asıp salındırırsanız ortaya çıkan hareketi bu denklemde tarif edersiniz. Bu denklemi çözecek olan y(x) fonksiyonunun demek ki böyle salınım tarif edebilecek bir fonksiyon olması gerekiyor. Sinüs dalgası filan derler, duymuşsunuzdur. Sinüs fonksiyonunun grafiğine bakarsanız, böyle iki sınır arasında sallanan değerler aldığını görürsünüz. Demek ki böyle bir şey önermemiz lazım y(x) için.
y(x)=A*sin(m*x)+B*cos(m*x)
önerelim. Kosinüs de aynı sinüs gibi iki değer arasında sallanır durur. Denklemin başlangıç (x=0) veya sınır (x=herhangi bir sayı) koşullarından A ve B'yi belirleriz. Önce bakalım bu fonksiyon denklemi sağlıyor mu:
y(x)=A*sin(m*x)+B*cos(m*x)
y(x)'=A*m*cos(m*x)-B*m*sin(m*x)
y(x)''=-A*(m^2)*sin(mx)-B*(m^2)*cos(mx)
y(x)'i biliyoruz. y(x)'' ifadesinde yerine yazalım:
y(x)''=-(m^2)*y(x)
Denklemde yerine yazalım:
y(x)''+(k^2)*y(x)=0
-(m^2)*y(x)+(k^2)*y(x)=0
Demek ki m=k olmalı. Bunu bir süre sonra doğrudan yazabilir hale geleceksiniz. Ben en genel çıkarımı gösterdim. Bu denklemin çözümü, hiçbir sınır, başlangıç şartı verilmediği durumda demek ki şuymuş:
y(x)=A*sin(k*x)+B*cos(k*x)
Pekiyi, bize x=0'da y(0)=0 olsun deselerdi ne yapardık. Üstteki çözümü bulduktan sonra bu şartı sağlayıp sağlamadığına bakardık:
y(x)=A*sin(k*x)+B*cos(k*x)
y(0)=A*sin(0)+B*cos(0)
sin(0)=0
cos(0)=1
olduğunu biliyoruz. Demek ki kosinüs kısmı dahil olursa y(0) sınır olmuyor, burayı atmalıyız. Nasıl atıyoruz? B=0 diyoruz. Şimdi çözümümüz (y(0)=0 şartı verilmiş durumda):
y(x)=A*sin(k*x)
Bu örneği burada bitirelim.
Elinizde şu tür denklemler olabilir:
a*y(x)''+b*y(x)'+c*y(x)=f(x)
Bunun sizden homojen, özel ve genel çözümünü bulmanızı isteyebilirler.
Homojen çözüm sağ tarafın sıfır olduğu çözümdür:
a*yh(x)''+b*yh(x)'+c*yh(x)=0
Özel çözüm sağ tarafın da olduğu, sağ taraftaki fonksiyona bakarak çözümün önerildiği çözümdür. Diyelim ki f(x)=x^2+4, yani bir polinom. Biz yö(x)=k1*x^3+k2*x^2+k3*x+k4 (bir derece üst polinom) öneririz, denklemde bunu yerine koyup k1, k2, k3 ve k4'ü belirleriz. f(x) sinüs, kosinüslü, üstel fonksiyonlu vb. olabilir. Ne türdense o tür öneri yapılacak.
Genel çözüm bu ikisinin toplamıdır: y(x)=yh(x)+yö(x)
Bernoulli de özel bir tür denklem. İşin içinde akışkan varsa kurtulmak olanaksız :) İyi kitaplardan çalışırsanız işin özünü kavrarsınız. Bir tane önereyim:
Mathematical Methods in the Physical Sciences, Mary L. Boas
y(x)''+(k^2)*y(x)=0
denklemine bakalım. Burada '' x'e göre ikinci türevi göstersin. Bilen biri (şu andan itibaren siz dahil) bunun bir harmonik salınım verdiğini bilir. Tavanda asılı bir yayın ucuna bir şey asıp salındırırsanız ortaya çıkan hareketi bu denklemde tarif edersiniz. Bu denklemi çözecek olan y(x) fonksiyonunun demek ki böyle salınım tarif edebilecek bir fonksiyon olması gerekiyor. Sinüs dalgası filan derler, duymuşsunuzdur. Sinüs fonksiyonunun grafiğine bakarsanız, böyle iki sınır arasında sallanan değerler aldığını görürsünüz. Demek ki böyle bir şey önermemiz lazım y(x) için.
y(x)=A*sin(m*x)+B*cos(m*x)
önerelim. Kosinüs de aynı sinüs gibi iki değer arasında sallanır durur. Denklemin başlangıç (x=0) veya sınır (x=herhangi bir sayı) koşullarından A ve B'yi belirleriz. Önce bakalım bu fonksiyon denklemi sağlıyor mu:
y(x)=A*sin(m*x)+B*cos(m*x)
y(x)'=A*m*cos(m*x)-B*m*sin(m*x)
y(x)''=-A*(m^2)*sin(mx)-B*(m^2)*cos(mx)
y(x)'i biliyoruz. y(x)'' ifadesinde yerine yazalım:
y(x)''=-(m^2)*y(x)
Denklemde yerine yazalım:
y(x)''+(k^2)*y(x)=0
-(m^2)*y(x)+(k^2)*y(x)=0
Demek ki m=k olmalı. Bunu bir süre sonra doğrudan yazabilir hale geleceksiniz. Ben en genel çıkarımı gösterdim. Bu denklemin çözümü, hiçbir sınır, başlangıç şartı verilmediği durumda demek ki şuymuş:
y(x)=A*sin(k*x)+B*cos(k*x)
Pekiyi, bize x=0'da y(0)=0 olsun deselerdi ne yapardık. Üstteki çözümü bulduktan sonra bu şartı sağlayıp sağlamadığına bakardık:
y(x)=A*sin(k*x)+B*cos(k*x)
y(0)=A*sin(0)+B*cos(0)
sin(0)=0
cos(0)=1
olduğunu biliyoruz. Demek ki kosinüs kısmı dahil olursa y(0) sınır olmuyor, burayı atmalıyız. Nasıl atıyoruz? B=0 diyoruz. Şimdi çözümümüz (y(0)=0 şartı verilmiş durumda):
y(x)=A*sin(k*x)
Bu örneği burada bitirelim.
Elinizde şu tür denklemler olabilir:
a*y(x)''+b*y(x)'+c*y(x)=f(x)
Bunun sizden homojen, özel ve genel çözümünü bulmanızı isteyebilirler.
Homojen çözüm sağ tarafın sıfır olduğu çözümdür:
a*yh(x)''+b*yh(x)'+c*yh(x)=0
Özel çözüm sağ tarafın da olduğu, sağ taraftaki fonksiyona bakarak çözümün önerildiği çözümdür. Diyelim ki f(x)=x^2+4, yani bir polinom. Biz yö(x)=k1*x^3+k2*x^2+k3*x+k4 (bir derece üst polinom) öneririz, denklemde bunu yerine koyup k1, k2, k3 ve k4'ü belirleriz. f(x) sinüs, kosinüslü, üstel fonksiyonlu vb. olabilir. Ne türdense o tür öneri yapılacak.
Genel çözüm bu ikisinin toplamıdır: y(x)=yh(x)+yö(x)
Bernoulli de özel bir tür denklem. İşin içinde akışkan varsa kurtulmak olanaksız :) İyi kitaplardan çalışırsanız işin özünü kavrarsınız. Bir tane önereyim:
Mathematical Methods in the Physical Sciences, Mary L. Boas
- sourlemonade (23.10.10 19:17:53)
benim gibi sallayıp sallayıp mezun olmadan önce götün tutuşarak verme de dersi. kendisi mezuniyetimle aramdaki en büyük engeldi zar zor kaldırdım 5. defada. metod öğren/ezberle/kopya çek bir şekilde geçiliyor dd ile. eğer odtüdeysen (ki büyük bir ihtimal odtüdesin) ömür uğur'un dersleri eğlenceli olur ona girebilirsin. bir de işin öğrenme kısmına gelince bölümüne göre diffi kullanma sıklığın değişiyor. inşaat mühendisliğinde deprem çalışmıyorsan hiç kullanmıyorsun mesela. yani öğrenmene gerek olmayabilir
- argent dawn (24.10.10 17:38:48)
@argent dawn
ele - elo müh.'deyim malesef:(
ele - elo müh.'deyim malesef:(
- msne
(24.10.10 21:43:28)
1
