Ekşi Duyuru

163tür zannedersem.

6ya bolununce 1 artiran en kucuk 3 basamakli sayi 103 idi.

103 e habire 6 ekleyip, her ekleyis sonucunu 6 - 7 ve 8 e boldum (daha dogrusu 6ya bolmedim artik, zira her 6 ekleyis sonrasi haliyle 1 sonucunu vercekti 6ya bolum) 7 ve 8 e bolumleri kontrol ettim her ekleyiste.. senin verdigin sonucu ilk "163" verdi.

tabi muhtemelen formulleri de vardir : )))

----

not : islem 6-7 dakikami aldi. oss'ye bu hizla giren ve soru cozen bir cocuk muhtemelen sinavi kaybeder.
ve babasi tokadi carpti mi sirasiyla 1,2 ve 3 yildiz doner basinda :)

163 cevabını alınca çözüm yolunu buldum ben de, teşekkürler..

gözden kaçırmışım 6-1=5, 7-2=5, 8-3=5 hepsi 5 yani

çözmek için 6,7,8'in obeb mi okek mi neyse (karıştırırım hep) onu alıyosunuz 84 çıkıyo, 3 basamaklı olması için ikiyle çarpıyosunuz.. 168 sonucundan da 5 çıkartınca cevabımız 163

bi insan össye çalışmaz da yıllar sonra alese çalışası tutarsa işte böyle madara olur bi soruya

(6+3*7)*6+1=163

şimdi bilgisayarlara milyarlarca iterasyon yaptırma işi icat oldu, matematiğin güzelliğinden eser kalmadı zaten. daha önce de dem vurmuştum bundan, neyse şu an konumuz değil. sorunun yanıtı verilmiş zaten ama daha büyük sayılardan bahsedilseydi ve bilgisayar kullanılamadığını da düşünürsek şöyle bir mantık yeterli hızı sağlar bence:

şimdi niyetimiz 1,2,3 ü yan yana dizmek değil mi? x bir tamsayıysa (6x+1) sayısını 6 ya böldüğümüzde hep 1 kalır. 1 cepte. şimdi 2'yle 3'ü yan yana getirelim. normalde bir sayıyı 8'e böldüğümüzde 0,1,2,3,4,5,6,7 kalabilir ama (6x+1) sayısı tek olmak zorunda olduğundan 8'e bölümünden kalan anacak 1,3,5,7, olabilir. 7 bölümünden kalansa 0,1,2,3,4,5,6 gibi yedi değişik sonuç olabilir. deneyelim:

x....(6x+1)...mod6...mod7....mod8
1........ 7 ..... 1......... 0 ......... 7
2....... 13..... 1......... 6 ......... 5
3....... 19..... 1......... 5 ......... 3
4....... 25..... 1......... 4 ......... 1
5....... 31..... 1......... 3 ......... 7
6....... 37..... 1......... 2 ......... 5

gödüğünüz gibi 1 zaten cepte. mod7 0'dan geriye doğru birer birer birer tekrar ediyor ve periyor 7, mod8 7 den geriye 2'şer 2'şer gidiyor ve periyodu dört. 1,2,3 ü yan yana getireceğiz dedik. 1 zaten yerinde. ilk 2'nin yanında 5 var. mod7 ile mod8 arasında periyot farkı 3'tür. bu da 2 nin yanına bir daha ki sefere mod8 hanesinde 2'nin şu an yanında bulunandan 3 sonraki sayı gelecek demektir. 4 kerede bir tekrar ettiğinden buna kısaca 1 önceki de diyebiliriz. bu durumda 2' nin yanında şu an 5 varsa ve mod8 deki rakamlar 7,5,3,1, sırasyıla gidiyorsa 3 rakamının gelmesi için 3 tur daha (2 rakamının 3 turu)bekleyeceğiz demektir. yani 4ncü 2 yanında 3 rakamı olacak. ilk 2 6ncı satırda ve mod7 bir periyodu 7 satırda tamamlıyor. bu durumda dördüncü 2, 6+(3x7)=27nci satırda. x=27 ise (6x+1) = 163. eğer 3 haneli olmasaydı 2yle 3 ün bir dahaki yan yana gelişlerine bakacaktık.

anlatınca uzun gibi duruyor ama hesaplaması gayet kısa. üstelik rakam daha büyük olsaydı yine bu kadar kısa sürecekti.

diyelim ki bize aynı soruyu 2nci en küçük sayı diye sordular: 3, 2'nin yanına bir daha yine 4 tur sonra (2 rakamının 4 turu) gelecektir. bu da 4*7=28 satır sonra gerçekleşir. 27+28=55 55*6+1=331

edit: cevapları daha dikkatli okuyunca edit gereği duydum. tabii sizin bulduğunuz yöntem çok daha hızlı ama "5" ortaklığı olmasaydı pek işe yaramayabilirdi. anlattığım yöntem biraz daha genel-geçer. silmiyorum o yüzden, hem benim dikkatsizliğimin de kanıtı olur.

cashkopat'ın çözümü çok daha estetik ve genel, ancak standart aritmetik yöntemlerle de çözülebilirliğini göstermek adına:

A aranan sayı ve A, x, y, z doğal sayılar olmak üzere
A=(6x+1)=(7y+2)=(8z+3)..................(0)

ilk eşitlik:
(6x+1)=(7y+2), o halde x=(7y+1)/6, o halde x=y+(y+1)/6
bu durumda son terim doğal sayı olmak zorundadır:
(y+1)/6=u, o halde
y=6u-1...................................(1)

ikinci eşitlik:
(7y+2)=(8z+3), o halde y=(8z+1)/7, o halde y=z+(z+1)/7
bu durumda son terim doğal sayı olmak zorundadır:
(z+1)/7=v, o halde
z=7v-1
y=z+(z+1)/7 olduğuna göre
y=8v-1...................................(2)

(1) ve (2) birbirine eşit olduğuna göre:
y=6u-1=8v-1, o halde u/v=4/3, o halde k bir tamsayı olmak üzere
u=4k ve v=3k.............................(3)

(0)'ı (1) cinsinden ifade edersek:
A=(7y+2)=7(6u-1)+2=42u-5.................(4)

(4)'ü (3) cinsinden ifade edersek:
A=42u-5=168k-5

sonuca geldik:
k, tamsayı olduğuna göre, A'yı pozitif yapan en küçük değeri k=1'dir:
A=168*1-5
A=163

Şöyle de daha basit bir şekilde yapılabilir. Aradığımız sayı 5 daha fazla olsaydı,6,7 ve 8 e tam bölünebilecekti. Dolayısıyla aradığımız sayıya A dersek, A+5 sayısı 6,7 ve 8in en küçük katı olacaktır(OKEK). 6,7 ve 8 in OKEK i 168 olduğuna göre cevap 163tür. ALES de inşalah çıkmaz ama soru şu şekilde de sorulabilir: ..bu sayının 300 ile 400 arasında olduğu bilindiğine göre, sayı kaçtır?
Böyle bir durumda da 168 i değil 168*2 olan 336 sayısını kullanmamız gerekirdi(6,7 ve 8 in 300-400 arasındaki katı).Aradığımız cevap da 336-5 den 331 olurdu.