[]
[Matematik 1] Kafamda Deli Faktöriyel Soruları
3! + 4! + ... +23! -(0! + 1! + 2! + ... + 49!) işleminin sonucu olan sayının birler basamağındaki rakam kaçtır ?
41! + 40! sayısı 12'lik sayma düzeninde yazılırsa sondan kaç basamağı 0 olur ?
[( 23! + 10!) : 10!) - 1 sayısının sondan kaç basamağı 0'dır ?
Sadece cevapları değil de çözüm yollarını ve elinizden geliyorsa mantığını da paylaşırsanız pek makbule geçer.
Cevapları var elimizde buna benzer diğer soruları da çözdük ama bunlarda yanıldık ve nasıl olduğunu da tam kavrayamadık.
Edit: Bonus Soru; sayılar:
A ve B rakamlarıyla yazılabilecek bütün 2 basamaklı doğal sayıların toplamı 308 ise A+B kaçtır ?
41! + 40! sayısı 12'lik sayma düzeninde yazılırsa sondan kaç basamağı 0 olur ?
[( 23! + 10!) : 10!) - 1 sayısının sondan kaç basamağı 0'dır ?
Sadece cevapları değil de çözüm yollarını ve elinizden geliyorsa mantığını da paylaşırsanız pek makbule geçer.
Cevapları var elimizde buna benzer diğer soruları da çözdük ama bunlarda yanıldık ve nasıl olduğunu da tam kavrayamadık.
Edit: Bonus Soru; sayılar:
A ve B rakamlarıyla yazılabilecek bütün 2 basamaklı doğal sayıların toplamı 308 ise A+B kaçtır ?
5!'den sonraki her şeyin birler basamağı 0, o yüzden ilk soru gibi olanlarda 4!'den sonrasını hesaba katmak gerekmiyor.
Çıkardığında -0! -1! - 2! -24! - 25! - ... - 49! kalıyor ki o da -1 -1 -2 - ....000000 - ...0000 gibi sayılar. Buradan da birinci basamak - ....0000 (büyük bir sayı) - 1- 1 - 2'den sayı -.....0004 oluyor. Birler basamağı da 4 oluyor.
41! + 40! = (41+1)*40! =42 * 40!
İlk önce sadece 40!'de kaç 0 vardır sorusunu ele alalım ama buna da tane tane gidelim.
5! = 120'dir. 5x2 =10 olduğu için bir tane 0 gelir.
10! = 3628800'dır. 5x2'den bir tane 0, 10x1'den bir tane daha 0 gelir.
Özetle 5'in her katında bir adet 0 gelir sona.
15! için 5x2'den bir tane 0, 10'dan bir tane 0, 15x4=60'tan bir tane 0 geliyor; toplam 3 tane 0 ediyor.
Yetmedi, 30!'e bakalım. 6 tane 5'in katı olduğu için 6 tane 0 cepte. Ancak, 30! 25'i de içeriyor. 25 de 5x5'ten oluştuğu için her 25 ekstradan bir tane daha 0 veriyor.
30!'için
5x2=10 (İlk sıfır)
10 (ikinci sıfır)
15x4=60 (Üçüncü sıfır)
20 (Dördüncü 0)
25x8=200 (5. ve 6. sıfır)
30 (7. sıfır)
Dolayısıyla, 25'in katlarında ikişer sıfır oluyor. (5^2 olmasından ötürü)
Aynı şekilde 125'in katlarında üçer sıfır, 625'in katlarında dörder sıfır, ... diye gidiyor bu.
41 x 40! de
40/5 = 8 (5'in katlarından 8 sıfır geldi)
40/25 = 1 (25'in katlarından fazladan 1 sıfır daha geldi)
8+1=9 tane 0 oldu.
Baştaki 42 çarpanı 10'a bölünmediği için ondan bir sıfır gelmiyor. Dolayısıyla, 9 sıfır ile uğurluyoruz bu problemi.
Örneğin 346!'in 0'larını sayalım.
346/5 = 69 (5'in katlarından 69 tane 0 geldi)
346/25 = 13 (25'in katlarından 13 fazladan 0 geldi)
346/125 = 2 (125'in katlarından 2 tane daha da fazladan 0 geldi)
Toplam 0 sayısı 69 + 13 + 2 = 84 oldu.
Son soru da aynı şekilde.
(23!/10!) + (10!/10!) - 1 = 23!/10! + 1 -1 =23!/10!
23!'de 23/5= 4 tane 0 var. 10!'de 2 tane 0 var. 4 sıfırlı bir şeyi 2 sıfırlı bir şeye bölersek, 2 tane 0 kalır.
Bonus: A ve B rakamsa, iki adet rakamla AB, BA, AA ve BB sayıları yazılabilir. Bunların toplamı da
10A + B + 10B + A + 11A + 11B'dir. Bu da 22A + 22B ya da 22(A+B) eder, 22(A+B)=308 ise A+B=14'tür.
Edit: 12'lik tabanı görmemişim. Düzeltme
2.de 12'lik tabanı görmedim, 10'luktan hesapladım. Mod 12 ise daha farklı tabii çözüm. 3 ve 2'den geliyor gerçekten.
40 / 3 = 13 (her 3'ün katında bir tane 3 var)
40 / 9 = 4 (her 9'un katında 2 tane 3 var)
40 / 27 = 1 (her 27'nin katında 3 tane 3 var)
= 13 + 4 + 1 = 18 tane 3 var.
40 / 2 = 20 (Her 2'nin katından 1 tane 2 geliyor)
40 / 4 = 10 (Her 4'ün katından 2 tane 2 geliyor)
40 / 8 = 5 (3 tane 2)
40 / 16 = 2 (4 tane 2)
40 / 32 = 1 (5 tane 2)
20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38 (Bu kadar da 2 var)
Bir tane 3 çarpanı için iki tane 2 çarpanı gerekiyor. DOlayısıyla 18 tane 3 çarpanı için 36 tane 2 çarpanı gerekiyor. O da var. Dolayısıyla bunun 18 tane 0'ı var.
Ancak sayı 42 x 40!. Elimizde 40!'den 2 tane 2 çarpanı var. 42'de de bir tane 3 çarpanı var. 40!den elimizde kalan 2 tane 2 çarpanı ile 42'nin 3 çarpanı, bir tane daha 12 ediyor. Bu da 1 tane daha 0 demek. 18 + 1'den 19 ediyor.
Çıkardığında -0! -1! - 2! -24! - 25! - ... - 49! kalıyor ki o da -1 -1 -2 - ....000000 - ...0000 gibi sayılar. Buradan da birinci basamak - ....0000 (büyük bir sayı) - 1- 1 - 2'den sayı -.....0004 oluyor. Birler basamağı da 4 oluyor.
41! + 40! = (41+1)*40! =42 * 40!
İlk önce sadece 40!'de kaç 0 vardır sorusunu ele alalım ama buna da tane tane gidelim.
5! = 120'dir. 5x2 =10 olduğu için bir tane 0 gelir.
10! = 3628800'dır. 5x2'den bir tane 0, 10x1'den bir tane daha 0 gelir.
Özetle 5'in her katında bir adet 0 gelir sona.
15! için 5x2'den bir tane 0, 10'dan bir tane 0, 15x4=60'tan bir tane 0 geliyor; toplam 3 tane 0 ediyor.
Yetmedi, 30!'e bakalım. 6 tane 5'in katı olduğu için 6 tane 0 cepte. Ancak, 30! 25'i de içeriyor. 25 de 5x5'ten oluştuğu için her 25 ekstradan bir tane daha 0 veriyor.
30!'için
5x2=10 (İlk sıfır)
10 (ikinci sıfır)
15x4=60 (Üçüncü sıfır)
20 (Dördüncü 0)
25x8=200 (5. ve 6. sıfır)
30 (7. sıfır)
Dolayısıyla, 25'in katlarında ikişer sıfır oluyor. (5^2 olmasından ötürü)
Aynı şekilde 125'in katlarında üçer sıfır, 625'in katlarında dörder sıfır, ... diye gidiyor bu.
41 x 40! de
40/5 = 8 (5'in katlarından 8 sıfır geldi)
40/25 = 1 (25'in katlarından fazladan 1 sıfır daha geldi)
8+1=9 tane 0 oldu.
Baştaki 42 çarpanı 10'a bölünmediği için ondan bir sıfır gelmiyor. Dolayısıyla, 9 sıfır ile uğurluyoruz bu problemi.
Örneğin 346!'in 0'larını sayalım.
346/5 = 69 (5'in katlarından 69 tane 0 geldi)
346/25 = 13 (25'in katlarından 13 fazladan 0 geldi)
346/125 = 2 (125'in katlarından 2 tane daha da fazladan 0 geldi)
Toplam 0 sayısı 69 + 13 + 2 = 84 oldu.
Son soru da aynı şekilde.
(23!/10!) + (10!/10!) - 1 = 23!/10! + 1 -1 =23!/10!
23!'de 23/5= 4 tane 0 var. 10!'de 2 tane 0 var. 4 sıfırlı bir şeyi 2 sıfırlı bir şeye bölersek, 2 tane 0 kalır.
Bonus: A ve B rakamsa, iki adet rakamla AB, BA, AA ve BB sayıları yazılabilir. Bunların toplamı da
10A + B + 10B + A + 11A + 11B'dir. Bu da 22A + 22B ya da 22(A+B) eder, 22(A+B)=308 ise A+B=14'tür.
Edit: 12'lik tabanı görmemişim. Düzeltme
2.de 12'lik tabanı görmedim, 10'luktan hesapladım. Mod 12 ise daha farklı tabii çözüm. 3 ve 2'den geliyor gerçekten.
40 / 3 = 13 (her 3'ün katında bir tane 3 var)
40 / 9 = 4 (her 9'un katında 2 tane 3 var)
40 / 27 = 1 (her 27'nin katında 3 tane 3 var)
= 13 + 4 + 1 = 18 tane 3 var.
40 / 2 = 20 (Her 2'nin katından 1 tane 2 geliyor)
40 / 4 = 10 (Her 4'ün katından 2 tane 2 geliyor)
40 / 8 = 5 (3 tane 2)
40 / 16 = 2 (4 tane 2)
40 / 32 = 1 (5 tane 2)
20 + 10 + 5 + 2 + 1 = 38 (Bu kadar da 2 var)
Bir tane 3 çarpanı için iki tane 2 çarpanı gerekiyor. DOlayısıyla 18 tane 3 çarpanı için 36 tane 2 çarpanı gerekiyor. O da var. Dolayısıyla bunun 18 tane 0'ı var.
Ancak sayı 42 x 40!. Elimizde 40!'den 2 tane 2 çarpanı var. 42'de de bir tane 3 çarpanı var. 40!den elimizde kalan 2 tane 2 çarpanı ile 42'nin 3 çarpanı, bir tane daha 12 ediyor. Bu da 1 tane daha 0 demek. 18 + 1'den 19 ediyor.
- aychovsky
(11.11.17 07:16:17 ~ 07:57:22)
1
